小三丢下亲生孩子后，处理方式主要依据法律和孩子的最佳利益。以下是根据不同情况的处理建议：

1. 非婚生子女的权利：非婚生子女与婚生子女享有同等权利，小三作为亲生母亲，对孩子负有抚养义务。

2. 抚养权归属：抚养权归属一般依据对孩子成长有利原则，通常由亲生父母一同抚养。若一方不适宜抚养，另一方可以争取单独抚养权。法院会综合考量双方的经济状况、生活环境、与子女的感情亲疏等因素，八周岁以上的未成年子女，法院会尊重其真实意愿。

3. 抚养费支付：若小三拒绝承担抚养责任，可通过法律途径要求其支付抚养费。法院会根据双方的经济状况等因素来判定抚养费的数额和支付方式。

4. 协商解决：双方可以先尝试协商解决，若协商不成，可向法院起诉。在处理过程中，要注意保留相关沟通记录等证据。

5. 特殊情况：若小三与男方存在不正当男女关系，男方对孩子负有非婚生子女的抚养义务。若男方存在重婚等犯罪行为，小三可向公安机关报案追究其刑事责任。

总之，要积极采取法律手段维护孩子的权益和自身的合法利益。在处理过程中，一切应以孩子利益为先妥善处理。